Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心（内心--角平分线交点且满足到三角形各边距离相等），若 S △IPF1=S △IPF2+

1

4

S △IF1F2成立，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  5

  2

• C．4
• D．2

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆的半径为r．利用I为△PF₁F₂的内心，S △IPF1=S △IPF2+

1

4

S △IF1F2成立，可得|PF1|=|PF2|+

1

4

×2c．再利用双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2a，即可得出a，c的关系，利用离心率计算公式即可．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆的半径为r．
∵I为△PF₁F₂的内心，S △IPF1=S △IPF2+

1

4

S △IF1F2成立，
∴

1

2

|PF1|•r=

1

2

|PF2|•r+

1

4

•

1

2

|F1F2|•r
化为|PF1|=|PF2|+

1

4

×2c．
又|PF₁|-|PF₂|=2a，∴2a=

1

2

c，
∴e=

c

a

=4．
故选C．

点评：熟练掌握双曲线的定义域性质、三角形内切圆的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．