Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点，F₁，F₂是该双曲线的两个焦点，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3 +1

  2

• C．2
• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：根据双曲线基本量的平方关系，可得圆x²+y²=a²+b²的半径为c，经过F₁和F₂．由此可得Rt△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=30°且∠PF₂F₁=60°，得到|PF₁|=

3

c且|PF₂|=c，再用双曲线的定义及离心率公式即可算出该双曲线的离心率．

解答：解：∵双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
∴双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2+b2

∵圆方程为x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴该半径等于c，且圆经过F₁和F₂．
∵点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与圆x²+y²=a²+b²的交点，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=

3

c，|PF₂|=c
根据双曲线定义，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）c
∴双曲线的离心率e=

2c

2a

=

2

3 -1

=

3

+1
故选：D

点评：本题给出双曲线与圆相交，在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识，属于基础题．