Question

如图，△ABC中，，AC=2，∠A=θ，设△ABC的面积为f（θ）．
（Ⅰ）若，求AB的长；
（Ⅱ）求f（θ）的解析式，并求f（θ）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据三角形的内角和定理，由∠A和∠B，求出∠C的度数，然后利用正弦定理，由AC，sinB和sinC的值，即可求出AB的长；
（Ⅱ）根据正弦定理，由AC，sinB和sinC，表示出AB，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把表示出的AB代入，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，以及二倍角的正弦、余弦函数公式和两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据θ的范围，求出2θ+的范围，根据正弦函数的单调区间，即可得到f（θ）的单调区间．
解答：解：（Ⅰ），由正弦定理知：
∴
（Ⅱ）由正弦定理知：，
∴，
∴，
∴
=
=，
又，
∴，
由得，由得，
∴f（θ）在区间上是增函数，在区间上是减函数．
点评：此题考查学生利用运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，熟练掌握三角函数的恒等变换，掌握正弦函数的单调区间，是一道中档题．