Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．（1）若x=为y=f（x）的极值点，求实数a的值； （2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=有实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为x=为y=f（x）的极值点，所以f′（）=0，就可求出a的值．
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=有实根，就可得到方程lnx-（1-x）²+（1-x）=由实根，即b=xlnx+x²-x³在x＞0上有解，只需求出函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域，而b在这个范围内，就可得到b的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=+3x²-2x-a=

∵x=为f（x）的极值点，∴f′（）=0
∴3a+（3-2a）-（a²+2）=0且a+1≠0
∴a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（3x-2），从而x=为f（x）的极值点成立．
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=
可得lnx-（1-x）²+（1-x）=
即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
b=x（lnx+x-x²）       令h（x）=lnx+x-x²
由h′（x）=+1-2x=∵x＞0
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]．
点评：本题主要考查函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的值域，借助函数值域求参数的范围，属于综合题．