Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+ b₂+…+b₁₀ =145．

（1）求数列{b_n}的通项b_n．

（2）设数列{a_n}的通项（其中a>0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与的大小，并证明你的结论．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵ b1=1，b1+ b2+…+b10 =145． 设等差数列{bn}的公差为d， 则 解得：d=3 ∴ bn=1+(n－1)·3=3n－2． （2）解法１： 由bn=3n－2，知 当n = 1时： 当n = 2时：… 猜测： 用数学归纳法证明： 1º当n=1时，已验证不等式成立． 2º假设当n=k (k≥1)时，不等式成立，即： 那么，当n=k+1时， ∵ ∴ 因而 ∴ 当n=k+1时，不等式成立． 由1º、2º知，对一切n∈N，不等式都成立． 则由对数函数性质可知： 当a>1时， 当0< a <1时， 解法2： 设： 则： ∵ ，；，，…… ， ∴ =3n+1 ∴ 若 a >1，则 即 若0< a <1，则 即 解法3：构造函数 则： 设：3n+1=m, 则 ∴ 　　∴ f ( n+1 ) > f ( n ) ∴ f ( n )在n∈N上是增函数 ∴ 　　 ∴f ( n ) > 1 ∴