Question

已知函数，设曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为，（为正数）
（1）试用表示
（2）若记，证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若是数列的前n项和，证明：

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

本试题主要是考查了数列与函数，以及不等式的综合运用。
（1）因为曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为，利用求出切点的斜率和点到坐标表示切线方程，进而得到结论。
（2）由（1）知，
所以从而得到所证明数列是等比数列。
（3）显然恒大于0 ------------11分
因为
所以
然后分类讨论求和得到证明。
解：（1）因为 所以曲线y=f(x)在点处的切线方程是， ---------2分
令y=0得
显然所以
即（或）  ----------4分
（2）由（1）知，
所以  ------------6分
从而，即其
所以是以为首项，为公比的等比数列  -------8分
所以，即
所以，所以 ---------10分
（3）显然恒大于0 ------11分
因为
所以 ----------12分
当时，显然
当时，
所以
即成立，证毕 ------------14分