Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，动点与两定点连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于两点，曲线上是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，见解析

【解析】

（1）设，由题意可得，运用直线的斜率公式，化简即可得到点的轨迹曲线；
（2）设，由题意知的斜率一定不为0，设，代入椭圆方程整理得关于的二次方程，假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，利用韦达定理可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程即可求出，由此可求出点的坐标，发现矛盾，故不存在．

解：（1）设，有，

得，

整理得，

∴曲线的方程为；

（2）假设存在符合条件的点，由题意知直线的斜率不为零，

设直线的方程为

由，得：

则

由四边形为平行四边形，

得

点坐标代入方程得：，

解得

∴此时，但，

所以不存在点使得四边形为平行四边形.