Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…满足f_n（x）=x的点称为f的n阶周期点．设，则（1）方程f（x）=x的正根是______；（2）f的2阶周期点的个数是______．

Answer 1

解：（1）当0≤x≤，方程f（x）=x 即 2x=x，解得 x=0，故方程没有正实数根．
当＜x≤1，方程f（x）=x 即 2-2x=x，解得x=．
综上可得，方程f（x）=x的正根是 ，
故答案为 ．
（2）当x∈[0，]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0；
当x∈（ ，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=．
∴f的1阶周期点的个数是2．
当x∈[0，]时，f₁（x）=2x，方程f₂（x）=x，即4x=x，解得x=0．
当x∈（ ，]时，f₁（x）=2x，方程f₂（x）=x，即2-4x=x，解得x=．
当x∈（ ，]时，f₁（x）=2-2x，方程f₂（x）=x，即-2+4x=x，解得x=．
当x∈（ ，1]时，f₁（x）=2-2x，方程f₂（x）=x，即4-4x=x，解得x=．
∴f的2阶周期点的个数是2²=4，
故答案为 4．
分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．