题目内容

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若 $数学公式$ ，求b的最大值；　
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证： $数学公式$ ．

解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴函数f（x）的导数为f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数的两个极值点
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，得 $\text{[math]}$
∵两根x₁，x₂之积为 $\text{[math]}$
∴两根x₁，x₂之中一正一负，可得 $\text{[math]}$
平方，得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8
即： $\text{[math]}$
整理，得4b²=72a²-12a³，其中a＞0
∴b²=18a²-3a³
记F（a）=18a²-3a³，得F′（a）=36a-9a²=9a（4-a）
令F′（a）＞0，得0＜a＜4，F′（a）＜0，得a＞4，
∴F（a）在区间（0，4）上为增函数，在区间（4，+∞）上为减函数
可得F（a）在（0，+∞）上的最大值为F（4）=96
∴b的最大值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）由（1）的根与系数的关系，结合x₂=a，得
$\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²=3ax²+（-3a²+a）x-a²
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）=3ax²+（-3a²+a）x-a²-a（x+ $\text{[math]}$ ）
=3ax²-3a²x-a²- $\text{[math]}$ a=（x+ $\text{[math]}$ ）（3ax-3a²-a）
g（x）的图象是开口向上的抛物线，关于直线x= $\text{[math]}$ 对称
它的两个零点为- $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∵x₁＜x＜x₂即x∈（- $\text{[math]}$ ，a），a $\text{[math]}$
∴g（x）＜0且g（x）的最小值为g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．
分析：（1）对函数f（x）求导数，得到导数f′（x）是关于x的二次函数．根据x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）的两个极值点，得到x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，然后利用根与系数的关系，建立方程组，并由这个方程组消去x₁，x₂得到关于a、b的关系式，通过这个关系式可得b关于a的函数表达式，从而得到b的最大值；
（2）用（1）中根与系数关系表达式，结合x₂=a，解得 $\text{[math]}$ ，且2b-3a²+a．由此代入g（x）=f（x）'-a（x-
x₁），得到g（x）的表达式是一个二次函数，它的图象是开口向上的抛物线，它的两个零点为- $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．因为x₁＜x＜x₂，所以g（x）的定义域为∈（- $\text{[math]}$ ，a）?（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），得到g（x）的值恒为负数．并且g（x）的最小值等于二次函数对称轴处的取值：g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，从而证出原不等式恒成立．
点评：本题着重考查函数在某点取得极值的条件、利用导数求闭区间上函数的最值等知识点，属于难题．在解题过程中还用到了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系和函数的值域等解题方法，是一道综合性较强的题．