题目内容

两个数列{an}，{bn}，满足．（参考公式）
求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
证明：∵，
∴bn+1=，
∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②减去①可得 bn+1﹣bn=（n+1）an+1．
两边同时除以n+1可得 bn+1﹣bn=an+1 ③，
∴bn﹣bn﹣1=an  ④．
③减去④可得 an+1 ﹣an=（ bn+1 ﹣ bn ）﹣（ bn ﹣bn﹣1 ）
=bn+1 +bn+1 ﹣bn﹣bn﹣bn+ bn﹣1﹣bn﹣1
=（bn+1﹣bn ）+（bn+1﹣bn ）+ （bn﹣bn﹣1）﹣（bn﹣bn﹣1）
=（bn+1﹣bn ）+（bn+1﹣bn ）﹣（bn﹣bn﹣1）．
由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1﹣bn=bn﹣bn﹣1=常数d，
此时an+1 ﹣an=d+﹣=，是个常数．
故：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
练习册系列答案
相关题目
已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an，an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根．
（1）求证：{bn}为等差数列；
（2）已知a1=2，a2=6，分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（3）求数{
bn2n
}的前n项和S．
已知各项均为正数的两个数列{an}，{bn}，由下表给出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定义数列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并规定数列{an}，{bn}的“并和”为Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，则y的最小值为
3
3
．
已知两个数列{an}，{bn}，满足bn=3nan，且数列{bn}的前n项和为Sn=3n-2，则数列{an}的通项公式为
an=
1
3
…(n=1)
1
3n-1
…(n≥2)
an=
1
3
…(n=1)
1
3n-1
…(n≥2)
．
（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求证：数列{(
bn
an
) 2}是等差数列；
（2）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
如果项数均为n（n≥2，n∈N+）的两个数列{an}，{bn}满足ak-bk=k（1，2，…，n），且集合{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}={1，2，3，…，2n}，则称数列{an}，{bn}是一对“n项相关数列”．
（Ⅰ）设{an}，{bn}是一对“4项相关数列”，求a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的值，并写出一对“4项相关数列”{an}，{bn}；
（Ⅱ）是否存在“15项相关数列”{an}，{bn}？若存在，试写出一对{an}，{bn}；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对于确定的n，若存在“n项相关数列”，试证明符合条件的“n项相关数列”有偶数对．

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