题目内容

如果项数均为n（n≥2，n∈N+）的两个数列{an}，{bn}满足ak-bk=k（1，2，…，n），且集合{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}={1，2，3，…，2n}，则称数列{an}，{bn}是一对“n项相关数列”．
（Ⅰ）设{an}，{bn}是一对“4项相关数列”，求a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的值，并写出一对“4项相关数列”{an}，{bn}；
（Ⅱ）是否存在“15项相关数列”{an}，{bn}？若存在，试写出一对{an}，{bn}；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对于确定的n，若存在“n项相关数列”，试证明符合条件的“n项相关数列”有偶数对．
分析：（I）依题意可求得a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的和与差，从而求得a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的值，再举例．
（II）利用反证法，假设存在15项相关数列，可求得2（a1+a2+…+a15）=585，从而得出矛盾，即证明不存在．
（III）对于确定的n，任取一对“n项相关数列”{an}，{bn}，令ck=2n+1-bk，dk=2n+1-ak（k=1，2，…，n），证明{cn}，{dn}也必为“n项相关数列”．说明符合条件的“n项相关数列”有偶数对．
解答：解：（Ⅰ）依题意，a1-b1=1，a2-b2=2，a3-b3=3，a4-b4=4，相加得，
a1+a2+a3+a4-（b1+b2+b3+b4）=10，又a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=36，
则a1+a2+a3+a4=23，b1+b2+b3+b4=13．
“4项相关数列”{an}：8，4，6，5；{bn}：7，2，3，1（不唯一）
（“4项相关数列”共6对：{an}：8，5，4，6；{bn}：7，3，1，2
或{an}：7，3，5，8；{bn}：6，1，2，4
或{an}：3，8，7，5；{bn}：2，6，4，1
或{an}：2，7，6，8；{bn}：1，5，3，4
或{an}：2，6，8，7；{bn}：1，4，5，3
或{an}：8，4，6，5；{bn}：7，2，3，1
（Ⅱ）不存在．
理由如下：
假设存在“15项相关数列”{an}，{bn}，
则a1-b1=1，a2-b2=2，…，a15-b15=15，相加，得（a1+a2+…+a15）-（b1+b2+…+b15）=120
又由已知a1+a2+…+a15+b1+b2+…+b15=1+2+…+30=465，由此2（a1+a2+…+a15）=585，显然不可能，所以假设不成立．
从而不存在“15项相关数列”{an}，{bn}
（Ⅲ）对于确定的n，任取一对“n项相关数列”{an}，{bn}，
令ck=2n+1-bk，dk=2n+1-ak（k=1，2，…，n），
先证{cn}，{dn}也必为“n项相关数列”．
因为ck-dk=（2n+1-bk）-（2n+1-ak）=ak-bk=k（k=1，2，…，n），
又因为{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}={1，2，3，4，…，2n}，很显然有{（2n+1）-a1，（2n+1）-a2，…，（2n+1）-an，（2n+1）-b1，（2n+1）-b2，…，（2n+1）-bn}={1，2，3，…，2n}，
所以{cn}，{dn}也必为“n项相关数列”．
再证数列{cn}与{an}是不同的数列．
假设{cn}与{an}相同，则{cn}的第二项c2=2n+1-b2=a2，又a2-b2=2，则2b2=2n-1，即b2=
2n-1
2
，显然矛盾．
从而，符合条件的“n项相关数列”有偶数对．
点评：本题考查了数列的应用，考查反证法证明问题的步骤，综合性强，在证明（III）时，构造数列{Cn}，{dn}，证明{Cn}，{dn}也为“n项相关数列”是关键．
练习册系列答案
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（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
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②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
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①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
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