Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=a₆₄₀₀，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1+lo{g}_{3}{b}_{n-1}，n=2k}\\{{3}^{{b}_{n-1}}，n=2k+1}\end{array}\right.$（k∈N^*），则数列{b_n}的前n项和S_n的最大值为127．

Answer 1

分析 先求出数列{（a_n-1）²}为以1为首项以1为公差的等差数列，得到a_n的通项公式，再归纳推理得到b_n，即为81，3，27，2，9，1，3，0，1，-1，…，由此可以得到当n=9时，S_n最大，问题得以解决．

解答 解：∵a_n+1=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1，
∴（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2=（a_n-1）²+1
∴（a_n+1-1）²-（a_n-1）²=1，
∵a₁=2，（a₁-1）²=1，
∴数列{（a_n-1）²}为以1为首项以1为公差的等差数列，
∴（a_n-1）²=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\sqrt{n}$+1，
∴b₁=a₆₄₀₀=$\sqrt{6400}$+1=81，
∴b₂=-1+log₃b₁=-1+log₃81=-1+4=3，
∴b₃=${3}^{{b}_{2}}$=3³=27，
∴b₄=-1+log₃b₃=-1+3=2，
∴b₅=3²=9，
∴b₆=-1+log₃b₅=-1+2=1，
…，
∴当n为奇数时，数列{b_2n-1} 是以81为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
当n为奇数时，数列{b_2n} 是以3为首项，以-1为公差的等差数列，
∴b_n=81×$（\frac{1}{3}）^{\frac{n-1}{2}}$=$（\frac{1}{3}）^{\frac{n-9}{2}}$，n为奇数，
b_n=3+（-1）•$\frac{n-2}{2}$=$\frac{-n+8}{2}$，n为偶数，
∴数列为81，3，27，2，9，1，3，0，1，-1，…
由此可以得到当n=9时，S_n最大，
即S₉=81+3+27+2+9+2+1+3+0+1=127
故答案为：127．

点评 本题数列的通项公式和等差数列和等比数列的前n项和，以及归纳推理的问题，属于难题．