Question

已知函数f（x）=x（x-a）+2lnx+1（a∈R）
（1）当a=5时，求函数f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≥2-a对任意x∈[1，+∞]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为x＞0，由f（x）=x（x-a）+2lnx+1，知f′(x)=2x-a+

2

x

，当a=5时，f′(x)=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

，令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2=2，由此能求出函数的极大值和极小值．
（2）由f（x）≥2-a，知x（x-a）+2lnx+1≥2-a，故x²+2lnx-1≥a（x-1）．由此入手，能够求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数的定义域为x＞0，
∵f（x）=x（x-a）+2lnx+1，
∴f′(x)=2x-a+

2

x

，
当a=5时，f′(x)=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

，
令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2=2，

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2）	2	（2，+∞）
y′	y′＞0	y′=0	y′＜0	y′=0	y′＞0
y	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴函数极大值y=

-5

4

-2ln2，极小值y=-5+2ln2．
（2）∵f（x）≥2-a，
∴x（x-a）+2lnx+1≥2-a，
∴x²+2lnx-1≥a（x-1），（*）
当x=1时，（*）对任意的a成立，
当x＞1时，x²+2lnx-1≥a（x-1）等价于x²-ax+a-1≥-2lnx，
y=x²-ax+a-1和y=-lnx交于点（1，0）．
y=x²-ax+a-1有两个或一个零点，
当y=x²-ax+a-1的另一个零点小于或等于1时，

由图象知（*）式恒成立．
当y=x²-ax+a-1的另一个零点大于1时，
设f（x）=x²-ax+a-1+2lnx，
f′(x)=2x-a+

2

x

≥2

2x• 2 x

-a
=4-a，
当且仅当x=1时，取等号．
当4-a≥0，即a≤4时，f（x）=x²-ax+a-1+2lnx在∈[1，+∞）上是增函数，
不等式f（x）≥2-a对任意x∈[1，+∞）恒成立．
∴实数a的取值范围是{a|a≤4}．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．