Question

已知f(x)=

3x-6

x

（1）用单调性定义证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（2）函数y=f（x）在区间[1，3]上的值域为A，求函数y=4^x-2^x+1（x∈A）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用定义证明单调性步骤为：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．
（2）利用f（x）的单调性求出A，y=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x，令t=2^x，则y=t²-2t，利用二次函数性质可求其最值．

解答：（1）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

3x1-6

x1

-

3x2-6

x2

=

6(x1-x2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴

6(x1-x2)

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）解：由（1）y=f（x）在[1，3]上是增函数，则在区间[1，3]上
当x=1时，y=f（x）有最小值-3，当x=3时，y=f（x）有最大值1，故A=[-3，1]．
y=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x
令t=2^x，由A=[-3，1]，得t∈[

1

8

，2]，
则 y=t2-2t，t∈[

1

8

，2]，
当t=1，即x=0时，y有最小值-1；
当t=2，即x=1时，y有最大值0．

点评：定义法是证明函数单调性的一种基本方法，要熟练掌握其步骤，其中变形最关键，对二次函数的最值问题最好借助图象处理．