Question

已知a_n=2ⁿ，把数列{a_n}的各项排成如图三角形状，记A（i，j）表示第i行中第j个数，则结论
①A（2，3）=16；
②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；
③[A（i，i）]²=A（i，1）•A（i，2i-1），（i≥1）；
④A（i+1，1）=A（i，1）•2^2i-1，（i≥1）；
其中正确的是

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析：观察三角形中第i行最后一个数的下脚标，得知下脚标值是该行的行数的平方，从而得到A（i，j）的表达式，
再依次分析①②③④，可判断其正确性．

解答：解：依题意知，①A（2，3）=a₄=2⁴=16；即①正确；

由图可知，第i行最后一个数是ai2，
∴②A（i，3）=a(i-1)2+3=2i2-2i+4，
A（i，2）=a(i-1)2+2=2i2-2i+3
∴A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；即②正确；

③[A（i，i）]²⁼(a(i-1)2+i)2=(2i2-i+1)2
A（i，1）•A（i，2i-1）=2i2-2i+2•2i2=22(i2-i+1)=(2i2-i+1)2=[A（i，i）]²，即③正确；

④A（i+1，1）=ai2+1=2i2+1，A（i，1）•2^2i-1=2i2-2i+2•2^2i-1₌2i2+1
∴A（i+1，1）=A（i，1）•2^2i-1，即④正确；
故答案为：①②③④．

点评：此题考查数列最一般的方法是观察法．
通过行数与项之间的关系可以找到规律，
题中还反映了从特殊到一般的数学思想．