Question

如图所示，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设，求的取值范围．

Answer 1

解：(1)分别以AB、OD所在直线为轴、轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2．

    ∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．

设其长半轴为，短半轴为b，半焦距为c，则2，

∴．，，∴曲线C的方程为．

(2)当直线的斜率不存在时，可解得．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

将点M(，)、N(，)代入曲线方程,

得(1+5²)²+20+15=0．

    △=(20)²―4×15(1+5²)>0，得²>．

    ，

分析可知面，即，

    

  由式①②可得，∵，

  ∴即.

∵在D与N之间，∴DM<DN，∴，即得

  综上所述，实数的取值范围为