Question

过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径．如图，已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B作准线的垂线，垂足分别为A₁、B₁．
（1）求出抛物线的通径，证明x₁x₂和y₁y₂都是定值，并求出这个定值；
（2）证明：A₁F⊥B₁F．

Answer 1

【答案】分析：（1）当AB⊥x时，根据抛物线方程得到A、B两点的坐标，直接计算可得通径的长，并且、，是定值；当AB与x轴不垂直时，设AB方程的点斜式形式，并且与抛物线联解消去x得到关于y的方程，利用根与系数的关系算出，结合抛物线方程即可得到，从而使命题得到证明．
（2）根据题意，得出A₁、B₁的坐标，从而得到向量的坐标，计算数量积并进行化简得到0，由此即可得到A₁F⊥B₁F．
解答：解：∵抛物线方程是y²=2px，
∴抛物线的焦点，准线
（1）①当AB⊥x时，可得、，
∴通径长为p-（-p）=2p，
可得此时且，是定值．
②AB与x轴不垂直时，设AB：（k≠0）
由消去x，得，
由根与系数的关系，得，
再代入到抛物线方程，可得，是定值．
综上所述，过焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，必有、是定值；
（2）根据题意，可得、，
∵焦点，
∴，
由此可得，
∴，即A₁F⊥B₁F．
点评：本题给出抛物线经过焦点的弦的端点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），它们在准线上的射影点分别为A₁、B₁，求证x₁x₂和y₁y₂都是定值并证明A₁F⊥B₁F．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．