Question

14．设a₁，a₂…，a_n…是按先后顺序排列的一列向量，若a₁=（-2015，14），且a_n-a_n-1=（1，1），则其中模最小的一个向量的序号n=（　　）

• A． 2015
• B． 2014
• C． 1007或1008
• D． 1001或1002

Answer 1

分析 根据题意，求出x_n与y_n的通项公式，计算$\overrightarrow{{a}_{n}}$的模长最小值即可．

解答 解：a₁，a₂…，a_n…是按先后顺序排列的一列向量，
且a₁=（-2015，14），a_n-a_n-1=（1，1）；
∴a_n=a_n-1+（1，1），
即（x_n，y_n）=（x_n-1，y_n-1）+（1，1）
=（x_n-1+1，y_n-1+1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}{=x}_{n-1}+1}\\{{y}_{n}{=y}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}=-2015+（n-1）=n-2016}\\{{y}_{n}=14+（n-1）=n+13}\end{array}\right.$，
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{{{x}_{n}}^{2}{{+y}_{n}}^{2}}$
=$\sqrt{{（n-2016）}^{2}{+（n+13）}^{2}}$
=$\sqrt{{2n}^{2}-2×2003n{+13}^{2}{+2016}^{2}}$；
∴当n=$\frac{2×2003}{2×2}$=1001.5，即n=1001或1002时，其模最小．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是综合性题目．