Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上焦点为F，左、右顶点分别为B₁，B₂，下顶点为A，直线AB₂与直线B₁F交于点P，若

AP

=2

AB2

，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：求出直线AB₂的方程和直线B₁F的方程，联立方程组求得点P的坐标，由

AP

=2

AB2

，可知B₂为AP的中点，
由线段的中点公式建立关于a、c 的方程，从而求出离心率

c

a

的值．

解答：解：由题意得 F（0，c），B₁（-b，0），B₂ （b，0），A（0，-a）．
直线AB₂的方程为  

x

b

+

y

-a

=1，即 ax-by-ab=0  ①．   
直线B₁F的方程为 

x

-b

+ 

y

c

=1，即 cx-by+cb=0  ②． 由①②得点P （

b(a+c)

a-c

，

2ac

a-c

）．
∵

AP

=2

AB2

，∴B₂为AP的中点，∴2b=0+

b(a+c)

a-c

，∴a+c=2（a-c），
a=3c，∴

c

a

=

1

3

．椭圆的离心率为

1

3

，
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查直线的截距式方程，求两直线的交点坐标，椭圆的简单性质的应用．