Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=2f（x+2），且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）写出f（x）在[-3，3]上的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=2f（x+2），得f（-1）=2f（1），代入已知表达式可得f（-1）；由f（0.5）=2f（2.5）得f（2.5）=

1

2

f（0.5），由此可得f（2.5）；
（Ⅱ）由函数f（x）对任意实数x均有f（x）=2f（x+2），得f（x-2）=2f（x），f（x）=

1

2

f（x-2），利用该式可分别求出-2≤x＜0；-3≤x＜-2；2＜x≤3时f（x）．

解答：解：（Ⅰ）因为f（-1）=2f（1）=2（1-2）=-2，
所以f（-1）=-2．
因为f（0.5）=2f（2.5），
所以f（2.5）=

1

2

f（0.5）=

1

2

•

1

2

•（

1

2

-2）=-

3

8

．
（Ⅱ）因为函数f（x）对任意实数x均有f（x）=2f（x+2），
所以f（x-2）=2f（x），f（x）=

1

2

f（x-2）．
当-2≤x＜0时，0≤x+2＜2，
f（x）=2f（x+2）=2x（x+2）；
当-3≤x＜-2时，-1≤x+2＜0，
f（x）=2f（x+2）=4（x+2）（x+4）；
当2＜x≤3时，0＜x-2≤1，
f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

2

（x-2）（x-4）；
故f（x）=

4(x+2)(x+4)，-3≤x＜-2 2x(x+2)，-2≤x＜0 x(x-2)，0≤x≤2 1 2 (x-2)(x-4)，2＜x≤3

．

点评：本题考查函数恒成立问题、函数解析式的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力．