Question

18．已知函数f（x）=3cosx-sin²x+1，若f（x）≥a-3恒成立，则a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 若f（x）≥a-3恒成立，则等价为求出f（x）的最小值即可．解惑一元二次函数的性质将函数f（x）进行配方进行求解即可．

解答 解：f（x）=3cosx-sin²x+1=3cosx+cos²x
=（cosx+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-1时，函数f（x）取得最小值f（x）=-3+1=-2，
若f（x）≥a-3恒成立，
则-2≥a-3恒成立，
即a≤1，
故答案为：（-∞，1]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据三角函数的性质以及一元二次函数的性质求出函数f（x）的最值是解决本题的关键．