Question

设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和

4

3

m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为

π

2

和

π

3

，求该彗星与地球的最近距离．

Answer 1

分析：仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a-c，这样把问题就转化为求a，c或a-c．

解答：解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（-c，0）处，
椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

π

3

时，
由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=

π

3

（或∠xFA′=

π

3

）．
作AB⊥Ox于B，则|FB|=

1

2

|FA|=

2

3

m，
故由椭圆的第二定义可得
m=

c

a

（

a2

c

-c），①

4

3

m=

c

a

（

a2

c

-c+

2

3

m）．②
两式相减得

1

3

m=

c

a

•

2

3

m，∴a=2c．
代入①，得m=

1

2

（4c-c）=

3

2

c，
∴c=

2

3

m．∴a-c=c=

2

3

m．
答：彗星与地球的最近距离为

2

3

m万千米．

点评：本题主要考查椭圆的定义，本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解．同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考．