Question

设函数f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．
（I）当上的单调性；
（II）讨论f（x）的极值点．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．知f（x）定义域是（-1，+∞），…（1分），由此能导出f（x）在（-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）当时，，f（x）无极值点．当时，由2x²+2x+k=0，解得为极大值点，为极小值点；当时，f（x）无极值点．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．
∴f（x）定义域是（-1，+∞），…（1分）
函数①…（2分）
当时，①式分子的△=4-8k=4（1-2k）＜0，
∴2x²+2x+k＞0，又x+1＞0，
所以，
∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增．  …（5分）
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，
f（x）在（-1，+∞）上的单调递增，
故f（x）无极值点．…（6分）
当时，由2x²+2x+k=0，
解得，
又，
所以当或时，
；
当时，
．…（8分）
因此f（x）在上单减，
在和上单增，…（10分）
因此为极大值点，为极小值点．…（11分）
综上所述，当时，为极大值点，为极小值点；
当时，f（x）无极值点．…（12分）
点评：本题考查函数的单调性的判断和极值点的讨论，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的合理运用．