Question

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动．

（Ⅰ）若为中点，求证：//平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，在中，E、F分别是BP、BC中点，利用中位线的性质得，再根据线面平行的判定得出结论；第二问，由正方形ABCD得出，利用面面垂直的性质，得平面PAB，利用线面垂直的性质，得，再从中证出，利用线面垂直的判定得平面PBC，所以AE垂直面PBC内的线PF；第三问，利用已知的这些条件整理出AD、AB、AP两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得出向量坐标，分别求出平面AEF和平面ABF的法向量，利用夹角公式列出表达式，求出m，即得到BF的长，从而得到点F的位置.

试题解析：（1）在中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，

∴，

又∵平面PAC，平面PAC，

∴平面PAC．

（2）∵底面ABCD是正方形，∴.

又∵侧面PAB底面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，且平面ABCD，

∴平面PAB.

∵平面PAB，

∴，

由已知，点E是PB的中点，

∴，

又∵，

∴平面PBC.

∵平面PBC，

∴.

（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.

∵，，

∴，

由（2）可知，平面PAB.

又，

∴平面PAB，即，

∴两两垂直.

分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.

不妨设，则，.

∴，.

设平面AEF的一个法向量为，

∵，得，取，则，，得.

∵，，，

∴平面ABCD.

即平面ABF的一个法向量为.

∴，解得.

∵，

∴，即点F为边BC上靠近B点的三等分点.

考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法.