Question

已知为空间的一个基底，且， ，，
（1）判断四点是否共面；
（2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量

Answer 1

（1）四点不共面；  （2）．

本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题，以及判定空间向量的基底的定义的运用。
（1）假设四点共面，则存在实数使，
且，那么可以根据这个结论得到方程组，求解判定不成立。
（2）利用不同面的三个向量可以充当空间的基底，那么我们可以得到，判定
解：（1）假设四点共面，则存在实数使，
且，
即．…4分
比较对应的系数，得一关于的方程组
解得
与矛盾，故四点不共面；……………6分
（2）若向量，，共面，则存在实数使，
同（1）可证，这不可能，
因此可以作为空间的一个基底，
令，，，
由，，联立得到方程组，
从中解得………………10分所以