Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足an+2Sn•Sn-1=0(n≥2)，a1=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n的表达式；
（3）若b_n=-2a_n（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根据-a_n=2S_n•S_n-1，可得-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），从而可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故可得{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得Sn=

1

2n

，再利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，当n=1时，S1=a1=

1

2

，即可得到结论；
（3）根据b_n=-2a_n（n≥2），求出b_n=，再用裂项法求和，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵-a_n=2S_n•S_n-1，∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3…）-----------（1分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列---------------（4分）
（2）解：由（1）得

1

Sn

=2+(n-1)•2=2n，∴Sn=

1

2n

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

当n=1时，S1=a1=

1

2

∴an=

1 2 ，n=1 - 1 2n(n-1) ，n≥2

--------------（8分）
（3）证明：由上知，bn=-2an=-2[-

1

2n(n-1)

]=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

---------------（10分）
∴b₂+b₃+…+b_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1．---------------（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项的求法，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，利用裂项法求和．