题目内容
已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数
在[1，+∞）上是增函数，不等式
在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（I）先求出函数的定义域，把a代入到函数中并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；
（Ⅱ）把f（x）代入到g（x）中得到g（x）的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设φ（x）=
-2x2，求出其导函数在[1，+∞）上单调递减，求出φ（x）的最大值，列出不等数求出解集即为a的取值范围．
解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）；
单调递增区间是（1，+∞）．
极小值是f（1）=1；
（Ⅱ）由
又函数
上单调增函数，
则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式
上恒成立
也即
在[1，+∞）上恒成立
又
在[1，+∞）为减函数，
所以φ（x）max=φ（1）=0．
所以a≥0．a的取值范围为[0，+∞）．
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．以及理解函数恒成立所取的条件．
（Ⅱ）把f（x）代入到g（x）中得到g（x）的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设φ（x）=
-2x2，求出其导函数在[1，+∞）上单调递减，求出φ（x）的最大值，列出不等数求出解集即为a的取值范围．解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）；
单调递增区间是（1，+∞）．
极小值是f（1）=1；
（Ⅱ）由
又函数
上单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式
上恒成立也即
在[1，+∞）上恒成立又
在[1，+∞）为减函数，所以φ（x）max=φ（1）=0．
所以a≥0．a的取值范围为[0，+∞）．
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．以及理解函数恒成立所取的条件．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|