Question

（2007•武汉模拟）已知直线l：y=2x-

3

与椭圆C：

x2

a2

+y²=1 （a＞1）交于P、Q两点，以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：x₀＜

3

2

（2）求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设出交点坐标，再联立直线与椭圆的方程并且整理可得：（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，再利用根与系数的关系表示出中点的横坐标，进而得到答案．
（2）由题意可得：

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，因为点在直线上，所以可得5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，再由（1）可得关于a的方程，进而结合题意求出a的值．

解答：解：（1）设直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，由题意可得：右顶点A（a，0），
将y=2x-

3

代入x²+a²y²-a²=0中整理得（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，
所以根据根与系数

x1+x2=  4 3 a2 4a2+1 ① x1x2=  2a2 4a2+1 ②

，
∵M（x₀，y₀）为PQ中点，
∴x₀=

x1+x2

2

=

2 3 a2

4a2+1

=

3

2

-

3

2(4a2+1)

，
所以x₀＜

3

2

（2）因为以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，
 又因为y₁=2x₁-

3

，y₂=2x₂-

3

所以（x₁-a）（x₂-a）+（2x₁-

3

）（2x₂-

3

）=0，
整理可得：5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，…③
 将①②代入③得：4a⁴-4

3

a³-a²+3=0
∴（a-

3

）（4a²-a-

3

）=0，
∵a＞1，则4a²-a-

3

＞0，
所以a=

3

所以椭圆方程为

x2

3

+y²=1．

点评：本题主要考查椭圆标准方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，并且考查学生运算能力与分析问题解决问题的能力．