Question

（2006•崇文区一模）双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的左、右焦点为F₁、F₂，则左焦点F₁到渐进线的距离为

4

，若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为锐角，则P点横坐标的取值范围是

x＜-

3 41

5

或x＞

3 41

5

．

Answer 1

分析：先求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算左焦点F₁到渐进线的距离即可，再设双曲线上一点P（x，y），若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为锐角，则

PF1

•

PF2

＞0，由此列不等式解得P点横坐标的取值范围

解答：解：双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的左、右焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0），渐近线方程为y=±

4

3

x
∴F₁到渐进线的距离为

|4×(-5)+3×0|

32+42

=4
设P（x，y），则

PF1

=（x+5，y），

PF2

=（x-5，y），
∵cos∠F₁PF₂=

PF1  • PF2

| PF1| | PF2|

＞0
∴

PF1

•

PF2

＞0
∴（x+5，y）•（x-5，y）＞0   即x²+y²-25＞0  又

x2

9

-

y2

16

=1
∴

25

9

x²＞41，解得x＜-

3 41

5

或 x＞

3 41

5

故答案为：x＜-

3 41

5

或 x＞

3 41

5

．

点评：本题考察了双曲线的标准方程及几何意义，解题时要能熟练的由双曲线定义和标准方程解焦点三角形问题