Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=a, BC=b,CC₁=c(a≠b),求AC与BD₁间的距离及所成角的余弦值.

Answer 1

解析：如图建立坐标系，使B点作为坐标原点，则B(0,0，0)，C(b,0,0),A(0,a,0),D₁(b,a,c), =(b,a,c),=(-b,a,0).

又设向量n=(1,λ,μ),同时与及垂直，则由n·=b+aλ+cμ=0及n·=?-b+aλ=0,解得λ=,μ=-,

∴n=(1, ,-).?

于是所求距离d=.∵=(b,0,0),

∴·n=b.又|n|=,?

∴d= =.

再求与的夹角.∵·=-b²+a²，

而||=,=,

∴cosθ= =.