Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程y=3x+1
（1）若f′（-2）=0，求函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）若函数在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由求导公式求出导函数，令导函数在1处的值为3，在-2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即为函数的增区间和减区间；
（3）将条件转化为：导函数大于等于0在[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．

解答：解：（1）由题意得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线方程y=3x+1，∴切点为（1，4），
因此有：

f′(1)=3 f(1)=4 f′(-2)=0

，即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 12-4a+b=0

，解得

a=2 b=-4 c=5

，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5，
（2）由（1）知，f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
由f′（x）=（x+2）（3x-2）＜0得，-2＜x＜

2

3

，
由f′（x）=（x+2）（3x-2）＞0得，x＜-2或x＞

2

3

，
∴f（x）的单调递增区间为：（-∞，-2），（

2

3

，+∞），
单调递减区间为：（-2，

2

3

），
（3）由（1）得，

f′(1)=3 f(1)=4

，即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4

，
解得

a=- 1 2 b c=3- 1 2 b

，∴f′（x）=3x²-bx+b，
∵函数在区间[-2，1]上单调递增，
∴f′（x）≥0在区间[-2，1]上恒成立，
①当x=

b

6

≥1时，f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0，∴b≥6；
②当x=

b

6

≤-2时，f′（x）的最小值为f′（-2）=12+2b+b≥0，∴b∈∅；
③当-2＜

b

6

＜1时，f′（x）的最小值为f′（

b

6

）=

12b-b2

12

≥0，∴0≤b≤6，
综上得，b的取值范围是b≥0．

点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是切线的斜率，导数与函数单调性的关系，以及二次函数在闭区间上最值问题，考查了分类讨论问题．