Question

已知函数f(x)=alnx+x²(a为实常数).

   (1)若,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;

   (2)当时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;

   (3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）当时,的最小值为1,相应的x值为1；（3）.

【解析】（1）直接对f(x)求导，说明当x>1时，导数大于零即可.

(2)利用导数求极值最值，最值不在区间端点出取得，就在极值处取得，因而比较极值及端点值即可确定最值.

（3）由于x>0，所以此不等式可转化为.然后构造函数求它的最小值即可，要注意恒成立问题与存在性问题的区别.

解：(1)当时,,当,,

故函数在上是增函数;------------（3分)

(2),当,,

当时,在上非负(仅当,x=1时,),

故函数在上是增函数,此时.

∴当时,的最小值为1,相应的x值为1-------（7分）

(3)不等式,可化为.

∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,

因而(),-----------------------（10分）

令(),又,----12分

当时,,,

从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,

故的最小值为,所以a的取值范围是.（14分）