Question

已知数列{a_n}和数列{b_n}，数列{a_n}的前n项和记为s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1（n≥1），点（3^5n-4•a_n，b_n）在对数函数y=log₃x的图象上．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

3

bn•bn+1

，T_n是数列{c_n}的前n项和，求使Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

解（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又a₂=2s₁+1=3，所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an=3n-1，
所以bn=log3(35n-4•an)=log3(35n-4•3n-1)=6n-5(n∈N*)…．（7分）
（2）∵cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，…..（9分）
所以Tn=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)…..（11分）
因此，使得

1

2

(1-

1

6n+1

)＜

m

20

(n∈N*)成立的m必须且仅须满足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，满足要求的最小整数m为10…..（14分）