Question

（2013•山东）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=

7

9

．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出关于新，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=

7

9

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-

14

9

ac=36-

32

9

ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵cosB=

7

9

，B为三角形的内角，
∴sinB=

1-( 7 9 )2

=

4 2

9

，
∵b=2，a=3，sinB=

4 2

9

，
∴由正弦定理得：sinA=

asinB

b

=

3× 4 2 9

2

=

2 2

3

，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

1

3

，
则sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

2 2

3

×

7

9

-

1

3

×

4 2

9

=

10 2

27

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．