Question

【题目】已知函数， ，其中， ， 为自然对数的底数.

（Ⅰ）若和在区间内具有相同的单调性，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，且函数的最小值为,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的最小值为.（2）.

【解析】试题分析：（1）由在上恒成立在上单调递减当时， ，即在上单调递增，不合题意；

当时，利用导数工具得的单调减区间为，单调增区间为

和在区间上具有相同的单调性的取值范围是；（2）由，设利用导数工具得，再根据单调性

设在上递减的最小值为.

试题解析： （1），

在上恒成立，即在上单调递减.

当时， ，即在上单调递增，不合题意；

当时，由，得，由，得.

∴的单调减区间为，单调增区间为.

和在区间上具有相同的单调性，

∴，解得，

综上， 的取值范围是.

（2），

由得到，设，

当时， ；当时， .

从而在上递减，在上递增.∴.

当时， ，即，

在上， 递减；

在上， 递增.∴，

设，

在上递减.∴；

∴的最小值为.