Question

在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（I）由⊙C的方程ρ=2

5

sinθ可得：ρ2=2

5

ρsinθ，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．
（II）把直线l的参数方程

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|即可得出．

解答：解：（I）由⊙C的方程ρ=2

5

sinθ可得：ρ2=2

5

ρsinθ，化为x2+y2-2

5

y=0．
（II）把直线l的参数方程

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t为参数）代入⊙C的方程得(3-

2

2

t)2+(

5

-

2

2

t)2-2

5

(

5

-

2

2

t)=0，化为t2-3

2

t+4=0．
∴t1+t2=3

2

．（t₁t₂=4＞0）．
根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3

2

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．