Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；

(Ⅱ)求二面角A-BD-C的大小；

(Ⅲ)求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

(Ⅰ)证明：设正三棱柱ABC- A₁B₁C₁的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．

∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．

又底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，且交线为BC．

∴AE⊥侧面BB₁C₁C．

连ED，则直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为∠ADE=45°．

在Rt△AED中，tan45°=，解得x=2.

∴此正三棱柱的侧棱长为2．

注：也可用向量法求侧棱长．

(Ⅱ)解：解法一：过C作EF⊥BD于F，连AF，

∵AE⊥侧面BB₁C₁C，∴AF⊥BD.

∴∠AFE为二面角A—BD—C的平面角．

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又

BE=1,sin∠EBF=, ∴EF=．

又AE=，∵在Rt△AEF中，tan∠AFE==3．

故二面角A-BD-C的大小为arctan3．

解法二：(向量法，见后)

(Ⅲ)解：解法一：由(Ⅱ)可知，BD⊥平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，∴过E作EG⊥AF于C，则EG⊥平面ABD．

在Rt△AEF中，EG=．

∵E为BC中点，

∴点C到平面ABD的距离为2EG=．

解法二：(思路)等体积变换：由V_C-ABD=V_A-BCD可求．

解法三：(向量法，见后)

题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法：

(Ⅱ)解法二：如图，建立空间直角坐标系O—xyz．

则A(0，0，)，B(0，-1，0)，C(0，1，0)，D(-，1，0)．

设n₁=(x，y，z)为平面ABD的法向量．

由得.

取n₁=(，-，1)．

又平面BCD的一个法向量n₂=(0，0，1)．

∴cos＜n₁,n₂＞=

结合图形可知，二面角A-BD-C的大小为arccos．

(Ⅲ)解法三：由(Ⅱ)解法二，n₁=(，-，1)，

=(0，-1，)．

点C到平面ABD的距离

d=．

注：若为了看图方便，也可以把图调整后，标好字母证明之．