题目内容

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n为正偶数，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列，又f（1）=n²，f（-1）=n．试比较f（ $数学公式$ ）与3的大小．

解：∵f（1）=a₁+a₂++a_n=n²．
依题设，有 $\text{[math]}$ =n²，故a₁+a_n=2n，
即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+-a_n-1+a_n=n，
∴ $\text{[math]}$ •d=n，有d=2．进而有2a₁+（n-1）2=2n，解出a₁=1．
于是f（1）=1+3+5+7++（2n-1）．
f（x）=x+3x²+5x³+7x⁴++（2n-1）xⁿ．
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +3（ $\text{[math]}$ ）²+5（ $\text{[math]}$ ）³+7（ $\text{[math]}$ ）⁴++（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．①
①两边同乘以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）²+3（ $\text{[math]}$ ）³+5（ $\text{[math]}$ ）⁴++（2n-3）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ+（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹．②
①-②，得 $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +2（ $\text{[math]}$ ）²+2（ $\text{[math]}$ ）³++2（ $\text{[math]}$ ）ⁿ-（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹，
即 $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ）²++（ $\text{[math]}$ ）^n-1-（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹．
∴f（ $\text{[math]}$ ）=1+1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ -（2n-1） $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ -（2n-1） $\text{[math]}$ =1+2- $\text{[math]}$ -（2n-1） $\text{[math]}$ ＜3．
∴f（ $\text{[math]}$ ）＜3．
分析：由题设条件可知2a₁+（n-1）d=2n．再由f（-1）=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+-a_n-1+a_n=n可解出a₁=1．所以f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +3（ $\text{[math]}$ ）²+5（ $\text{[math]}$ ）³+7（ $\text{[math]}$ ）⁴+…+（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，再用错位相减法求解即可．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．