Question

已知函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，都有恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，确定f'（x）＞0，即可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（II）先判断函数F（x）的极小值，再由有四个零点，进行等价转化方程有解问题，去掉绝对值，变成两个方程，根据F（x）≥1，解出b的范围；
（Ⅲ）分析可得，可以转化为F（x）的最大值减去F（x）的最小值小于或等于e²-2，由单调性知，F（x）的最大值是F（1）或F（-1），最小值F（0）=1，由F（1）-F（-1）的单调性，判断F（1）与F（-1）的大小关系，再由F（x）的最大值减去最小值F（0）小于或等于e²-2，构造方程即可求出a的取值范围．
解答：（I）证明：∵函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna，
F（x）=a^x+x²-xlna
求导函数，可得F′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）解：令F′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=a^x（lna）²+2＞0，F′（x）为单调增函数，说明x=0是唯一的极值点，也是最小值点；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴当x＜0时，F′（x）＜0，为减函数；
F（x），F′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）		（0，+∞）
F′（x）	-		+
F（x）	递减	极小值1	递增

∵函数=0，也即，有四个零点；
∴等价于方程有解，∵F（x）≥F（0）=1，
由①得，F（x）=3+b-≥1，即，解得b＞-1或-1-＜b＜0；
由②得，F（x）=-3+b-≥1，即，解得，b＞2+或2-＜b＜0；
综上得：b＞2+或2-＜b＜0；
（Ⅲ）解：问题等价于F（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差小于等于e²-2．
由（Ⅱ）可知F（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴F（x）的最小值为F（0）=1，最大值等于F（-1），F（1）中较大的一个，
F（-1）=+1+lna，F（1）=a+1-lna，F（1）-F（-1）=a--2lna，
记g（t）=t--2lnt（t＞0），
∵g′（t）=1+-=（）²≥0（当t=1等号成立）
∴g（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当t＞1时，F（1）-F（-1）＞0，即F（1）＞F（-1）；
又由a＞1时，则F（x）的最小值为F（0）=1，最大值为F（1）=a+1-lna，
则⇒F（1）-F（0）=a-lna≤e²-2，
解得a≤e²；
则a的取值范围为a∈（1，e²]．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用导数确定函数的最值．