题目内容

已知：如图，圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），①求线段PQ的长；②求证：直线PQ与圆O相切．

（1）解：设椭圆C的标准方程为

因为圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，
所以|AB|=2

∵曲线C是以AB为长轴，
∴

，
∴

∵椭圆的离心率为

，
∴c=1，
∴

∴此椭圆的标准方程为

（2）①解：由（1）知椭圆的左焦点F（﹣1，0），而点P（1，1）
所以直线PF的方程为

，即

直线QO的方程为y=﹣2x，而椭圆的左准线方程为x=﹣2，
所以点Q的坐标为（﹣2，4）
因此|PQ|=3

②证明：直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2=0
而点O到直线PQ的距离为d=

所以直线PQ与圆O相切

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已知：如图，圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），
①求线段PQ的长；
②求证：直线PQ与圆O相切．

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已知：如图，圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为 $数学公式$ 的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），
①求线段PQ的长；
②求证：直线PQ与圆O相切．