Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点．
（1）求证：B₁C⊥平面ABC₁；
（2）求二面角C-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，B₁O⊥平面ABC，BO=AO=1，B₁O=且OC⊥AB．分别以OC，OA，OB₁为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，得出A、B、C₁、B₁各点的坐标，从而得到向量和的坐标，通过计算数量积得B₁C⊥AC₁，再结合菱形BB₁C₁C中B₁C⊥C₁B，可得B₁C⊥平面ABC₁；
（2）由面面垂直的判定与性质，可得OC⊥侧面AA₁B₁B，得平面AA₁B₁B的一个法向量为=（，0，0），再利用数量积为0的方法建立方程组，解出平面AB₁C的一个法向量=（1，，1），从而算出向量，夹角的余弦之值，最终得到二面角C-AB₁-B的余弦值．
解答：解：（1）∵点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，
∴B₁O⊥平面ABC，BO=AO=1，B₁O=，OC⊥AB
故分别以OC，OA，OB₁为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，得A（0，1，0），B（0，-1，0），C₁（，1，），B₁（0，0，），
∴=（-，0，），=（，0，）
可得•=-×+0×0+×=0
∴⊥，即B₁C⊥AC₁，
∵菱形BB₁C₁C中，对角线B₁C⊥C₁B，AC₁∩C₁B=C₁
∴B₁C⊥平面ABC₁；
（II）∵B₁O⊥平面ABC，B₁O?侧面AA₁B₁B，∴侧面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∵△ABC中，中线OC⊥AB，侧面AA₁B₁B∩平面ABC=AB，
∴OC⊥侧面AA₁B₁B，可得平面AA₁B₁B的一个法向量为=（，0，0），
设=（x，y，z）是平面AB₁C的一个法向量，得，
取x=z=1，得y=，所以=（1，，1）
∴cos＜，＞===，
再结合图形，可得二面角C-AB₁-B的余弦值等于．
点评：本题在所有棱长都为2的斜三棱柱中，求证线面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了直线与平面垂直的判定和用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档題．