Question

设M（-

6

，0），N（

6

，0），动点P满足条件k_PM•k_PN=-

1

3

，记点P的轨迹为C，点R（-3，0），过点R且倾斜角为30⁰的直线l交轨迹C于A、B两点．
（1）求直线l和轨迹C的方程；
（2）点F₁（-2，0），求

F1A

•

F1B

；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

Answer 1

分析：（1）已知一点和斜率可由点斜式得到直线l的方程；设P（x，y）由k_PM•k_PN=-

1

3

，求点P的轨迹方程．
（2）将直线方程与椭圆方程联立解得点A，B的坐标，最后计算

F1A

•

F1B

．
（3）当过点F₁（-2，0）的直线与直线L垂直时，圆的面积最小，此时垂足为圆心．所以半径长为点F₁（-2，0）到直线l的距离．

解答：解：（1）由点斜式可知直线l的方程为：

3

x- 3y-3

3

=0
设P（x，y）
∵k_PM•k_PN=-

1

3

，
∴

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

3

∴

x2

6

+

y2

2

 =1
（2）将直线方程与椭圆方程联立可得：

x2 6 + y2 2 =1 3 x- 3y-3 3 =0

解得：A(

3+ 3

2

，

1- 3

2

)B（(

3- 3

2

，-

1+ 3

2

)）
∴

F1A

•

F1B

=12
（3）根据题意：当过点F₁（-2，0）的直线与直线L垂直时，圆的面积最小，
此时垂足为圆心．
所以半径长为点F₁（-2，0）到直线l的距离
∴r=

| 2 3 -3 3 |

2 3

=

1

2

点评：本题主要考查直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系及直线与圆的位置关系．