Question

设函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，.
（1）求的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）用函数单调性的定义证明函数为增函数；
（4）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）奇函数；（3）详见解析；（4）.

试题分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先说明函数的定义域关于原点对称，然后令得到，然后可化成，可判断函数为奇函数；（3）设，则，所以，从而利用单调性的定义证出函数在上为增函数；（4）先将不等式转化成，再由函数的单调递增性，又转化为，再分离参数得不等式，该不等式恒成立等价于，求出的最小值即可求出的取值范围.
试题解析：（1）取得，    2分
(2)函数为奇函数，理由如下：已知函数的定义域为
取代入，得，又，则
即为奇函数    5分
（3）证明：设且，则
由知，，则
则函数为上的增函数    9分
（4）由恒成立，又即为奇函数
得：恒成立。又函数为R上的增函数
得恒成立    11分
即恒成立
设：
令，则，即，知时，
则，即实数的取值范围为    14分.