题目内容
【题目】在矩形ABCD中，AB=4 
，AD=2 ，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．
（1）当θ=90°时，求A′C的长；
（2）当cosθ= 
时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．
【答案】
（1）
解：在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE．
∵AB=4 
，AD=2 ，∴BD= 
=10．
∴ 
，BE= 
=8，cos∠CBE= 
= 
．
在△BCE中，由余弦定理得CE= 
=2 
．
∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．
∴|A′E|= 
=2 
．
（2）
解：DE= 
=2．
∵tan∠FDE= 
，∴EF=1，DF= 
= ．
当 
即cos∠A′EF= 
时， 
．
∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°
又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F
∴A'F⊥平面ABCD．
以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：
∴A′（0，0， 
），D（﹣ ，0，0），B（3 ，2 ，0），C（3 ，0，0）．
∴ 
=（0，2 ，0）， 
=（4 ，2 ，0）， 
=（ ，0， ）．
设平面A′BD的法向量为 
=（x，y，z），则 
，
∴ 
，令z=1得 =（﹣ 
，2 ，1）．
∴cos＜ 
＞= 
= 
= 
．
∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为 ．
【解析】（1）过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE，利用勾股定理及余弦定理计算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2）利用余弦定理可得A′F= ，从而得出A′F⊥平面ABCD，以F为原点建立坐标系，求出 和平面A′BD的法向量 ，则BC与平面A′BD所成角的正弦值为|cos＜ ＞|．
