Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3（sin²B+sin²C-sin²A）=2$\sqrt{3}$sinBsinC．
（1）求tanA；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和余弦定理，可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由同角的基本关系式，即可得到tanA；
（2）运用三角形的面积公式，求得bc，再由余弦定理结合基本不等式，即可得到a的最小值．

解答 解：（1）由正弦定理可得，3（sin²B+sin²C-sin²A）=2$\sqrt{3}$sinBsinC，即为
3（b²+c²-a²）=2$\sqrt{3}$bc，
由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sinA=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{2}$；
（2）△ABC的面积为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
即有$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
即bc=6+2$\sqrt{3}$，
a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$bc=（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）（6+2$\sqrt{3}$）=8，
即有a$≥2\sqrt{2}$，
则当b=c时，a取得最小值，且为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，以及面积公式的运用，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题．