Question

直线x=±m（0＜m＜2）和y=kx把圆x²+y²=4分成四个部分，则（k²+1）m²的最小值为

4

．

Answer 1

分析：将直线y=kx与圆x²+y²=4方程联解，可得交点横坐标为x=±

4 1+k2

，结合题意得m大于或等于这个横坐标，由此建立关于k、m的关系式，即可求出（k²+1）m²的最小值．

解答：解：将y=kx代入圆x²+y²=4中，可得：x²+k²x²=（1+k²）x²=4，
∴解之得，x²=

4

1+k2

，即x=±

4 1+k2

，
∵直线x=±m（0＜m＜2）和y=kx把圆x²+y²=4分成四个部分，
∴m≥

4 1+k2

，即m²≥

4

1+k2

，
由此可得，k与m满足的关系（k²+1）m²≥4，当且仅当m=

4 1+k2

时取得最小值，
∴（k²+1）m²的最小值为4
故答案为：4

点评：本题给出三条直线把圆x²+y²=4分成四个部分，求关于k、m式子的最小值，着重考查了直线与圆的位置关系和不等式的基本性质等知识，属于基础题．