Question

直线y=kx+1，当k变化时，直线被椭圆

x2

4

+y2=1截得的最大弦长是（　　）

• A．4
• B．2
• C．

  4 3

  3

• D．不能确定

Answer 1

分析：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．

解答：解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）
∴|PQ|²=（2cosθ）²+（sinθ-1）²=-3sin²θ-2sinθ+5
∴当sinθ=-

1

3

时，|PQ

|

2 max

=

16

3

∴|PQ|max=

4

3

3

，
故选C

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值．