题目内容

已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P使
PF1
•
PF2
=0，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
分析：根据题意，△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，可得|
PF1
|2+|
PF2
|2=|
F1F2
|2．由椭圆定义，可得椭圆的离心率等于焦距|F1F2|与|PF1|+|PF2|的比值，再利用基本不等式加以计算即可得到该椭圆的离心率的取值范围．
解答：解：∵椭圆上存在点P使
PF1
•
PF2
=0，
∴
PF1
⊥
PF2
，可得△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形
∵|
PF1
|+|
PF2
|=2a，|
F1F2
|=2c
∴椭圆的离心率e=
2c
2a
=
|
F1F2
|
|
PF1
|+|
PF2
|

又∵(|
PF1
|+|
PF2
|)2≤2(|
PF1
|2+|
PF2
|2)=2|
F1F2
|2=8c2
∴e=
|
F1F2
|
|
PF1
|+|
PF2
|
≥
2c
2
2
c
=
2
2

∵椭圆的离心率e∈（0，1），
∴该椭圆的离心率的取值范围是[
2
2
，1）
故选：C
点评：本题给出椭圆上存在一点对两个焦点所张的角是直角，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是
[
3
2
，1）
[
3
2
，1）
．
已知F1、F2是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°，求椭圆离心率的取值范围．
已知F1、F2是椭圆的两个焦点．△F1AB为等边三角形，A，B是椭圆上两点且AB过F2，则椭圆离心率是
3
3
3
3
．
已知 F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，椭圆上存在一点P，使得S△F1PF2=
3
b2，则该椭圆的离心率的取值范围是
[
3
2
，1）
[
3
2
，1）
．
已知F1，F2是椭圆
x2
2
+y2=1的两个焦点，点P是椭圆上一个动点，那么|
PF1
+
PF2
|的最小值是（　　）

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