题目内容

设函数f（x）=（ax2-bx）ex的图象与直线ex+y=0相切于点A，且点A的横坐标为1．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．
（1）f′（x）=（2ax-b）ex+（ax2-bx）ex=[ax2+（2a-b）x-b]ex（2分）
由于f（x）的图象与直线ex+y=0相切于点A，点A的横坐标为1，则A（1，-e）
所以
f(1)=-e
f′(1)=-e
（4分）
即
(a-b)e=-e
(3a-2b)e=-e
解得a=1，b=2．（7分）

（2）由a=1，b=2，得f（x）=（x2-2x）ex，定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=(x2-2)ex=(x-
2
)(x+
2
)ex.（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜-
2
或x＞
2
；
令f'（x）＜0，解得-
2
＜x＜
2
．
故函数f（x）在区间(-∞，-
2
)，(
2
，+∞)上分别单调递增，
在区间(-
2
，
2
)上单调递减．（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
设函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•…•x2009）=8，则f（x12）+f（x22）+…+f（x20082）+f（x20092）的值等于
16
16
．
（2011•南通三模）设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若f′(
13
)=0，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求证：当0≤x≤1时，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）
（2013•惠州模拟）设函数f（x）=x3-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（　　）
设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0．b，c∈R．
（1）计算f′（
1
3
）；
（2）若x=
1
3
为函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（3）设M表示f′（0）与f′（1）两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．

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