Question

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，且a₂=3，4S₂=S₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{2^a_n}是等比数列；
（3）求使得S_n+2＞2S_n的成立的n的集合．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由题意得：

a1+d=3 4×(2a1+d)=4a1+6d

，解方程可得
（2）要证明数列{2an为等比数列，只要证明依题

2an

2an-1

为常数
（3）由（1）可求S_n，然后代入不等式S_n+2＞2S_n，结合n∈N^*可求n的值

解答：解：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
由题意得：

a1+d=3 4×(2a1+d)=4a1+6d

解得：a₁=1，d=2∴a_n=2n-1
（2）依题

2an

2an-1

=

22n-1

22n-3

=4，
数列{2an}是首项为2，公比为4的等比数列
（3）由a₁=1，d=2，a_n=2n-1得S_n=n²

∴Sn+2＞2Sn?(n+2)2＞2n2?(n-2)2＜8 ∴n=1，2，3，4 故n的集合为：{1，2，3，4}

点评：本题主要考查了利用等，差数列的基本量表示等差数列的通项公式及前n项和的求解，及利用定义证明等比数列的综合应用．